Question

数学问题，求详细过程！

Answer 1

这题不难，将定积分分成两部分：(注：因为打字问题，积分区间就没有直接标在积分符号上了，知道那有个区间就行)
∫(x²arctanx)dx+∫cosx^5dx
前面那个积分用函数奇偶性判断：
x²在(-π/2,π/2)上是偶函数，而arctanx在积分区间上是奇函数，于是有：
奇函数*偶函数=奇函数，∴被积函数是奇函数，原函数为偶函数
所以积分为2*(0,π/2)上函数的积分
又∫x²arctanxdx=1/3∫arctanxdx³
(凑微分)
=1/3(x³arctanx-∫x³dx/(1+x²))
(分部积分法)

=1/3(x³arctanx-1/2∫x²d(x²)/(1+x²))
(将x³=x*x²，前面的x可以凑微分进去变成x²)

=1/3(x³arctanx-1/2(x²-ln(x²+1)))
(后面那个小积分很好求，先把x²用t代换掉，然后化简，基本上马上就可以看出原函数了，注意最后要把t换回成x)
于是可以解出前面的积分值（注意是上述积分在（0，π/2）的两倍）

右边那个积分里面的cosx^5可以化成cosx*cosx²*cosx²=cosx*(1-sinx²)*(1-sinx²)，而cosx是sinx的导数，
于是凑微分进去原式就变成：∫(1-sinx²)(1-sinx²)d(sinx)
令t=sinx，换元后把积分式划开，逐项求积分，完了再把t换回成x就行了，之后就可以直接求积分区间里的值

整个过程这样的，具体就没计算了，留给楼主自己再做一遍，争取掌握方法~~