Question

高中数学题~急求！

已知|x+y|+|x-y|≤2,求证x^2+y^2≤2

Answer 1

不妨设x>=y
若x+y>=0,则原式=x+y+x-y<=2
即x<1,又x+y>0,所以x>0,-1<y<x<1
所以x^2+y^2≤2
若x+y<0,则原式=-x-y+x-y=-2y<=2
即y>-1,又x+y<0,所以y<0,-1<y<x<1
所以x^2+y^2≤2

Answer 2

由于：(|x+y|+|x-y|)*(|x+y|+|x-y|)≤4
所以：（x+y）*（x+y）+（x-y）*（x-y）+2|x+y|*|x-y| ≤4
即：x*x+y*y+|x+y|*|x-y|≤2
又因为：0≤|x+y|*|x-y|
所以：x*x+y*y≤2

Answer 3

证明：
因为|x+y|和|x-y|都是为非负

将|x+y|+|x-y|≤2 两边取平方
有(|x+y|+|x-y|)^2≤4
整理后有 2x^2+2y^2+2|x^2-y^2|≤4
若x^2≤y^2
则有4y^2≤4 y^2≤1 又由假设条件可知x^2≤1 所以x^2+y^2≤2
同理，若y^2≤x^2 也可证得x^2+y^2≤2