Question

已知抛物线x²=4y，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为（12，6）求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和

Answer 1

解：设p点坐标（x，y），抛物线的焦点为f，准线为l，过p点做一条垂直于准线的线，交准线于点m，交x轴于n点。
根据题意：焦点f(0，1)
准线l：y=-1。由抛物线的定义可知：|pf|=|pm|
p点到x轴的距离为|pn|，p点到a点的距离为|pa|。
|pn|=|pm|-1=|pf|-1。
∴
|pn|+|pa|=|pf|+|pa|-1>|af|-1
(三角形paf两边之和大于第三边)。
∴只有当p、a、f在一条直线时，|pn|+|pa|最小。|af|=13。
∴|pn|+|pa|=13-1=12。
直线af：5x-12y+12=0。
联立方程：x^2=4y
5x-12y+12=0。
求得：x=3
(x=-3/4舍去)，
y=9/4。此时
p点坐标（3，9/4）。