Question

已知a,b,c,d均为实数，且ad-bc=1,a²+b²+c²+d²-ab+cd=1,求abcd的值

Answer 1

解：a²+b²+c²+d²-ab+cd=1
…………………………………………
（1）
ad-bc=1
…………………………………………………………
（2）
两式相减得：a²+b²+c²+d²=ab-cd+ad-bc
而
a²+b²≥2ab
,
c²+d²≥-2cd
,
a²+d²≥2ad
,
b²+c²≥-2bc
四式相加得：2（a²+b²+c²+d²)≥2(ab-cd+ad-bc),即
a²+b²+c²+d²≥ab-cd+ad-bc，当且仅当a=b=d=-c时等号成立
所以a=b=d=-c，代入（2）式中，2a^2=1,
所以abcd=-a^4=-1/4

Answer 2

1/2a平方+1/2b平方-ab+1/2c平方+1/2d平方+cd+1/2（a平方+b平方+c平方+d平方）=1=ad-bc
所以1/2a平方+1/2b平方-ab+1/2c平方+1/2d平方+cd+1/2a平方+1/2d平方-ad+1/2b平方+1/2c平方+bc=0
所以有1/2（a-b）平方+1/2（c+d）平方+1/2（a-d）平方+1/2（b+c）平方=0
所以有a=b，c=-d，a=d，b=-c把bcd用a表示代入ad-bc=1=a*a-a*（-a）=2a*a中
得a=b=d=根号2/2或者-根号2/2
c=-a，当a=根号2/2时，c=-根号2/2，a=-根号/2时，c=根号2/2