Question

如图三角形ABC为等边三角形AB⊥BD AC⊥CD O为BC中点 求证AO⊥OD

Answer 1

能不垂直的，设三角形三边长为2，BD=CD=x，因为AB⊥BD
AC⊥CD
，有AD²=AB²+BD²=4+x²，O为BC中点得OD²=x²-1，AO²=2²-1=3，AO²+OD²=3+x²-1=x²+2≠AD²，所以AO不垂直OD，即平面ABC与平面DBC有一个不等于90°的夹角。

Answer 2

因为AB⊥BD
，AC⊥CD，所以平面ABC⊥平面BCD，由于三角形ABC等边，O为BC中点，所以AO⊥BC，则AO⊥平面BCD，则有AO⊥OD。