Question

已知数列an满足a1=1.a2=3,an+2=3an+1-2an

已知数列an满足a1=1.a2=3,an+2=3an+1-2an

（3）若数列bn满足4^(b1-1)*4^(b2-1)…4^(bn-1)=（an+1)^bn，证明bn是等差数列

Answer 1

解析：∵an+2=3an+1-2an，
∴an+2-an+1=2(an+1-an)
∴{an+1-an}是公比q=2,首项a2-a1=3-1=2的等比数列
则an+1-an=2*2^(n-1)=2^n,
a2-a1=2
a3-a2=4
a4-a3=8
……
an+1-an=2^n
∴an+1-a1=2+4+8+……+2^n=2（2^n-1)
an+1=2^（n+1)-1
∵4^(b1-1)*4^(b2-1)…4^(bn-1)=4^(b1+b2+b3+……+bn-n)
=2^2(b1+b2+b3+……+bn-n)=[2^(n+1)-1]^bn
只能做到这里，关系式好像有问题，化简不了！希望帮助你。

Answer 2

本题思路：核心是构造法。即构造出等差或等比数列，本题是构造等比数列。a(n+2)-a(n+1)=2*(a(n+1)-an)

其次可以考虑如何去求bn，又因为4^(b1-1)*4^(b2-1)…4^(bn-1)=（an+1)^bn，所以得把前面的设法单另求解，也就是这些——4^(b1-1)*4^(b2-1)*…*4^(bn-1)它就等于4^(b1+b2+…+bn-n)。化简。再把n换成n-1。化简。.然后消元。
即可得bn/(n-1)=b(n-1)/(n-2)-2/((n-2)(n-1))然后化简，化简，再化简。········
bn=n+1是等差

Answer 3

a(n+2)=3*a(n+1)-2*an

a(n+2)-a(n+1)=2*(a(n+1)-an)

a2-a1=3-1=2

a(n+1)-an=2^n

a(n+2)-2a(n+1)=a(n+1)-2*an

a2-2*a1=3-2=1

a(n+1)-2*an=1

an=2^n-1

4^(b1-1)*4^(b2-1)*…*4^(bn-1)=4^(b1+b2+…+bn-n)

an+1=2^n

4^(b1+b2+…+bn-n)=(an+1)^bn=4^(n*bn/2)

b1+b2+…+bn=(n/2)*bn+n

b1+b2+…+b(n-1)=((n-1)/2)*b(n-1)+(n-1)

bn/(n-1)=b(n-1)/(n-2)-2/((n-2)(n-1))

b2/1=3

bn/(n-1)=(n+1)/(n-1)

bn=n+1

故bn为等差数列

Answer 4

设bn=a(n 1)-an
an 2=3an 1-2an
a(n 2)=3a(n 1)-2an
a(n 2)-a(n 1)=2(a(n 1)-an)
b(n 1)=2b(n)
b1=a2-a1=2!=0
所以数列{an 1-an}是等比数列
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