Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c和一次函数g(x)=-bx，其中a、b、c∈R且满足a＞b＞c，f(1)=0.

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c和一次函数g(x)=-bx，其中a、b、c∈R且满足a＞b＞c，f(1)=0.
（1）证明：函数f(x)和g(x)的图象交于不同的两点A、B
（2）若函数F(x)=f(x)-g(x)在区间[2，3]上的最小值为9，最大值为21.求a、b的值。

Answer 1

（1）方程f(x)=ax^2+bx+c=g(x)=-bx
即：ax^2+2bx+c=0
∵f(1)=a+b+c=0
∴ -b=a+c
∴b^2=a^2+c^2+2ac
∵a>b>c
∴ac<0且a〉0。
所以(2b)^2-4ac=4(b^2-ac)〉0成立，所以函数f(x)与g(x)的图像交于不同的两点成立。
（2）f(1)=0有a+b+c=0
∵a>b>c
∴a>0,c<0
F(x)=f(x)-g(x)=ax^2+2bx-a-b=x(x-2)a+(2x-1)(-c)
因为a>0所以F(x)开口向上，且当x>=2时，x（x-2）>0,a>0,2x-1>0,-c>0
F(x)在[2,3]上是恒大于0的，即
[2,3]在曲线对称轴右边，单调递增。
有：F(2)=9 且F(3)=21
求得a=2,b=1