Question

请问大家关于高数中斯托克斯公式的理解，我有一个疑问

请问大家关于高数中斯托克斯公式的理解，我有一个疑问，就是假如现在有一条曲线，如果以这条曲线生成一个曲面，对这个曲面的坐标积分可以转化成那条曲线的坐标积分，如果保持被积函数P,Q,R不变，由这条曲线生成另外一个曲面，那么在这个曲面上的坐标积分最终也可以转化成那条曲线上的坐标积分，我们知道P,Q ,R一样，那么对两个曲面的坐标积分也就相等，那么按照这种理解，岂不是，由这个曲线生成的所有曲面，如果保持P,Q,R不变的话，那所有的对坐标的曲面积分都相等 希望高手予以解答！

Answer 1

还是那句话，你要学会严谨地叙述问题，只有把问题讲清楚了才能解决。
当然我大致能估计出你想问什么，Stokes公式中曲面的选取确实是任意的，三楼的讲法大体上是对的。我可以稍微补充几点。
1.
曲面的侧确实很重要，曲面积分本身需要建立在定向曲面上，而曲面的侧也决定了曲线积分的方向。
2.
两片公用边界的曲面S1和S2确实可以认为构成封闭曲面（此时应该理解成S1和反向的S2构成封闭曲面），不过这个曲面及其内部区域的结构可能会非常复杂，即使那S1和S2本身的光滑性都很好。
如果需要使用对区域要求比较高的Gauss公式，那么很多时候有必要借助第三片曲面S3，使得S3和S1仅在边界相交，S3和S2也仅在边界相交，这样就可以使用较强要求的Gauss公式来证明了。被积函数确实是0，你自己验证，不要偷懒。
不过话说回来，即便是引入S3来解决区域结构的问题，其严谨性仍然是比较大的问题，因为这个看似显然的几何事实实际上很难证明（可以参考Jordan曲线定理的证明难度），所以我认为Gauss公式用在这里可以帮助理解，但最好不要用来作为推理依据，推理还是直接用Stokes公式比较好。
3.
根据曲面积分的物理意义也可以理解为什么积分值曲面的选取方式无关。
第二类曲面积分本身于来源不可压缩流体在单位时间内通过某定向曲面的流量，从这个物理意义上看流量确实是由曲面的边界（即一条简单闭曲线）决定的，当然物理意义也只能用来帮助理解，不要作为推理依据。