Question

计算心形线r=a(1+cosθ)的面积。

Answer 1

答案为：3π/2*a^2

2sqrt(2)πa^2(1 cosθ)^(3/2)dθ把积分变量代换成θ/2

可以比较当然

如果说心形线凹进去的部分不算侧面积

只要求出沿极轴方向离顶点最远

数学表达方法：

极坐标方程：

水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)

垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)

直角坐标方程：

心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

Answer 2

用定积分来求，根据公式，心型线的长度设为L，那么 L=∫(r^2+r'^zhi2)^(1/2)dθ，其中，r'表示r的导数，积分上限2π，下限为0

L=∫{[a(1+cosθ)]^2+(asinθ)^2}^(1/2)dθ =a*∫[2+2cosθ)^(1/2)dθ =2a*∫|cos(θ/2)|dθ=2a*[∫cos(θ/2)dθ (上限为π，下限为0)+∫-cos(θ/2)dθ(下限为π，上限为2π)] =8a

例如：

心形曲线r=a(1+cosb)

形状是绕了一圈

定义域是[0,2π]

但是关于x轴对称

求面积的话只要求上半部分就好

因为下面的面积和上面一样

所只做[0,π]上的面积，再前面乘以那个2

扩展资料：

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 3

用极坐标来算，根据对称性简化计算

Answer 4

考虑半个心形线（θ属于0到180度），每一段弧元（ds=sqrt(dr^2+(rdθ)^2)）绕极轴转成一个梯形环面元，面积等于2πR*ds，R是该弧到极轴的距离：
R=rsinθ.
所以立体的侧面积就是：
2πRds的积分，把上面的R和ds代入，并利用条件代入r的表达式。
结果得到一个不太复杂的形式：
2sqrt(2)πa^2(1+cosθ)^(3/2)dθ
把积分变量代换成θ/2，可以比较容易地解出定积分式:
16πa^2*（x-x^3/3），x=sin(θ/2)
总的表面积是从0到π的积分。当然，如果说心形线凹进去的部分不算侧面积，只要求出沿极轴方向离顶点最远的点的θ=2π/3,
并把它做为积分上限即可。
结果分别是：
(32πa^2)/3
和
6sqrt(3)πa^2
望采纳。