Question

行列式是否为零与是否满秩有何关系

Answer 1

先看矩阵秩的定义：矩阵A中如果存在一个r阶子式不等于0，而所有的r+1阶子式（如果存在的话）全等于0,则规定A的秩R(A)=r。那么，如果n阶方阵A满秩，就是A的秩为n，则A有一个n阶子式不等于0，因为A只有一个n阶子式。

简介：

设A是n阶矩阵, 若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。

若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。

Answer 2

如果概念都比较清楚的话，我举个通俗点的例子，如果有两个方程两个未知数，方程类似于行列式形式。满秩就是两个方程没有线性关系，那么肯定就能解除两个未知数的值。行列式不为零。如果是线性关系的话，那么两个未知数只能是零解，所以行列式为零。这个例子我觉得还好，希望有所帮助。

Answer 3

对的。
先看矩阵秩的定义：矩阵a中如果存在一个r阶子式不等于0，而所有的r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，则规定a的秩r(a)=r。
那么，如果n阶方阵a满秩，就是a的秩为n，则a有一个n阶子式不等于0，因为a只有一个n阶子式，即其本身，所以|a|≠0。
如果你知道线性无关的话那么也可以这样理解，满秩矩阵一定是线性无关的，那么其行列式的值不为0.