Question

1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=怎样算？

Answer 1

因为：
1×2＝1/3×1×2×3，
1×2＋2×3＝1/3×2×3×4，
1×2＋2×3＋3×4＝1/3×3×4×5，
1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝1/3×4×5×6，
......
结论：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝
n(n＋1)(n＋2)。
这种题的规律很难发现。
【解析】
这个主要利用两个公式：
1+2+3+.....+n=n(n+1)/2；
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。

1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n(n＋1)
=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+2)+...+(n^2+n)
=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+....+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)