Question

求解 根号{（1-r^2)/(1+r^2)}(根号结束）*rdr 积分区域从0到1，求详细解答

Answer 1

=0.5∫根号（1-r^2)/(1+r^2)dr
^2
积分区域从0到1
=0.5∫根号（1-t）/（1+t）dt
积分区域从0到1
（t=r^2)
=0.5∫（1-t）/根号（1-t^2）dt
积分区域从0到1
（上下同*根号（1-t）)
=0.5∫1/根号（1-t^2）dt-0.5∫t/根号（1-t^2）dt
积分区域从0到1
到这里
前面用三角代换
后面类似于第一步算法
就做出来了

Answer 2

前面答案有点错误，这里更正一下
∫√[(1-r^2)/(1+r^2)]rdr
=(1/2)∫√[(1-r^2)/(1+r^2)]dr^2
r^2=cosu
=(1/2)∫√[(1-cosu)/(1+cosu)]dcosu
=(1/2)∫(1-cosu)/sinu
*dcosu
=(-1/2)∫(1-cosu)du
=(-1/2)u+(1/2)sinu+c
=（-1/2）arccos(r^2)+1/2√(1-r^4)+c
令arccosx=t，则x=cost，所以sin(arccost)=sint=√(1-(cost)^2)=√1-x^2
所以sinu=sin((arccos(r^2))=√（1-r^4）