Question

关于高中数学函数周期性。

Answer 1

1、y＝f（x）有两个对称轴x＝a，x＝b。因为x＝a是对称轴，所以
f
(a
+x)
=
f
(a－x)，设z＝a＋x，的x＝z－a，代入上式得f（z）＝f（2a－z），将z换成x，所以f（x）＝f（2a－x）。同理有f（x）＝f（2b－x）。所以得f（2a－x）＝f（2b－x），设w＝2a－x，，x＝2a－w，代入上式得f（w）＝f（w＋（2b－2a）），将w换成x得f（x）＝f（x＋（2b－2a））。根据周期函数的定义，可知y＝f（x）是周期函数，周期是（2b－2a）的绝对值（因为周期不能是负数）。
2、y＝f（x）有一个对称中心（a，0），可得f
(x)
+
f
(2a－x)
=
0，因此f（x）＝－f（2a－x)
，同理对于对称中心（b，0）也可得f（x）＝－f（2b－x)
。所以－f（2a－x)
＝－f（2b－x)，f（2a－x)
＝f（2b－x)。后面就同上题一样可以证明出来了。

Answer 2

(1)使用换元法
①f(a-x)=f(a+x)
设t=a-x,代入上式，
f(t)=f(2a-t)既是
f(x)=f(2a-x)
/
这一结论可以直接写出来
/
同理
f(x)=f(2b-x)
f(2a-x)
=f(2b-x)可以推出
f(x)=f(2b-2a+x)
,得证。
②③同理
（2）f(x+a)=-f(x)=f(x-a)=-f(x-2a)
所以f(x)=f(x-2a),得证。
其它同理。