Question

设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2 (1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列 (2)求数列{an}的通

Answer 1

n≥2时，Sn=4a(n－1)＋2，与S(n＋1)=4an＋2相减，得：a(n＋1)=4an－4a(n－1)，即：a(n＋1)－2an=2[an－a(n－1)]，则：bn=2b(n－1)，其中n≥2。a1＋a2=S2=4a1＋2，则a2=3a1＋2=5，b1=a2－2a1=3。则{bn}是以3为首项、以q=2为公比的等比数列，得：bn=3×2^(n－1)。即：a(n＋1)－2an=3×2^(n－1)，两边除以2(n－1)，得：[a(n＋1)]/[2^(n－1)]－[an]/[2^(n－2)]=3=常数，则数列{an/[2^(n－2)]}是以a1/[2^(1－2)]=2为首项、以d=3为公差的等差数列，则an/[2^(n－2)]=2＋3(n－1)=3n－1，所以，an=(3n－1)×2^(n－2)。