Question

复变函数问题：函数 w=1/z将z平面上曲线y=x映射成w平面上的何种曲线？

Answer 1

解：令z=x+iy

即w=1/(x+iy)

w=(x-iy)/(x^2+y^2)=x/(x^2+y^2)-iy?(x^2+y^2)

令u,v为w坐标系的两个坐标轴，就像x,y一样

令u=x/(x^2+y^2)

v=-iy/(x^2+y^2)

则依据原式(x—1)^2+y^2=1有，x^2+y^2=2x将其代入

所以u=x/(x^2+y^2)=x/2x=1/2

内容

复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。

对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。

Answer 2

解：令z=x+iy,
即w=1/(x+iy),
w=(x-iy)/(x^2+y^2)=x/(x^2+y^2)-iy?(x^2+y^2)
令u,v为w坐标系的两个坐标轴，就像x,y一样
令u=x/(x^2+y^2),
v=-iy/(x^2+y^2),
则依据原式(x—1)^2+y^2=1有，x^2+y^2=2x将其代入
所以u=x/(x^2+y^2)=x/2x=1/2