Question

在数列｛an｝中，a1=1,n大于等于2时，an,Sn,Sn-1/2成等比数列，求通项an

Answer 1

1）由sn^2=an(sn-1/2),an=sn-sn-1(n≥2)得
sn^2=(sn-sn-1)(sn-
1/2)
即2sn-1sn=sn-1-sn.
由题意知sn-1sn≠0，上式两边同除以sn-1sn得1/sn
-
1/sn-1=2
∴{1/sn}是首项为1,公差为2的等差数列，
∴1/sn=1+2(n-1)=2n-1,
sn=1/(2n-1)(n≥2),
∵s1=1适合sn=1/(2n-1),∴sn=1/(2n-1)
an,sn,sn-1/2成等比数列
an(sn-1/2)=sn^2
a2(s2-1/2)=s2^2
a2(a2+1/2)=(a2+1)^2
a2=-2/3
a3(s3-1/2)=s3^2
a3(a3-1/6)=(a3+1/3)^2
a3=-2/33
[sn-s(n-1)](sn-1/2)=sn^2
-(1/2)sn-s(n-1)sn+(1/2)s(n-1)=0
-(1/2)sn+(1/2)s(n-1)=s(n-1)sn
1/sn-1/s(n-1)=-2
1/sn=(1/s2)+(-2)(n-2)
=[1/(1-2/3)]+(-2)(n-2)
=3+(-2)(n-2)
=-2n+7
sn=1/(-2n+7)
s(n-1)=1/(-2n+5)
an=sn-s(n-1)=1/(-2n+7)-1/(-2n+5)
an=1/(-2n+7)-1/(-2n+5);

Answer 2

在数列｛a‹n›｝中，a₁=1，n大于等于2时，a‹n›，S‹n›，Sn-(1/2)成等比数列，求通项a‹n›
解：S‹n›²=a‹n›(S‹n›-1/2)
(n≧2)....................(1)
取n=2，则有S²₂=a₂(S₂-1/2)，即(a₁+a₂)²=a₂(a₁+a₂-1//2)，
用a₁=1代入得：(1+a₂)²=a₂(a₂+1/2)，即有：1+2a₂+a²₂=a²₂+(1/2)a₂，
（3/2）a₂=-1；∴
a₂=-2/3.
又S‹n›/a‹n›=(S‹n›-1/2)/S‹n›，用a‹n›=S‹n›-S‹n-1›代入得：
S‹n›/(S‹n›-S‹n-1›=(S‹n›-1/2)/S‹n›，
故有S²‹n›=(S‹n›-S‹n-1›)(S‹n›-1/2)=S²‹n›-S‹n›S‹n-1›-(1/2)S‹n›+(1/2)S‹n-1›
故得S‹n-1›-S‹n›=2S‹n›S‹n-1›，∴有1/S‹n›-1/S‹n-1›=2，即{1/S‹n›}是个首项为1，公差为2的
等差数列。故1/S‹n›=1+2(n-1)=2n-1，即S‹n›=1/(2n-1)，S‹n+1›=1/[2(n+1)-1]=1/(2n+1)
∴a₁=1，a‹n+1›=S‹n+1›-S‹n›=1/(2n+1)-1/(2n-1)=-2/(4n²-1)（n=1，2，3，........)
或写成a‹n›=S‹n›-S‹n-1›=1/(2n-1)-1/[2(n-1)-1]=-2/(2n-1)(2n-3)
(n=2，3，4，......)