高数,微分方程求解
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求微分方程 y''-3y'+2y=2e^x的通解;
解:齐次方程y''-3y'+2y=0的特征方程 r²-3r+2=(r-1)(r-2)=0的根r₁=1,r₂=2;
因此余函数 y=c₁e^x+c₂e^(2x);
设其特解 y*=(ax+b)e^x...........①;
y*'=ae^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x..........②;
y*''=ae^x+(ax+a+b)e^x=(ax+2a+b)e^x...........③;
将①②③代入原式并消去e^x得:
(ax+2a+b)-3(ax+a+b)+2(ax+b)=-a=2,故a=-2;取b=0;
于是特解y*=-2xe^x;
故通解为:y=c₁e^x+c₂e^(2x)-2xe^x;
解:齐次方程y''-3y'+2y=0的特征方程 r²-3r+2=(r-1)(r-2)=0的根r₁=1,r₂=2;
因此余函数 y=c₁e^x+c₂e^(2x);
设其特解 y*=(ax+b)e^x...........①;
y*'=ae^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x..........②;
y*''=ae^x+(ax+a+b)e^x=(ax+2a+b)e^x...........③;
将①②③代入原式并消去e^x得:
(ax+2a+b)-3(ax+a+b)+2(ax+b)=-a=2,故a=-2;取b=0;
于是特解y*=-2xe^x;
故通解为:y=c₁e^x+c₂e^(2x)-2xe^x;
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