Question

高数，微分方程求解

Answer 1

求微分方程 y''-3y'+2y=2e^x的通解；
解：齐次方程y''-3y'+2y=0的特征方程 r²-3r+2=(r-1)(r-2)=0的根r₁=1，r₂=2；
因此余函数 y=c₁e^x+c₂e^(2x)；
设其特解 y*=(ax+b)e^x...........①；
y*'=ae^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x..........②;
y*''=ae^x+(ax+a+b)e^x=(ax+2a+b)e^x...........③;
将①②③代入原式并消去e^x得：
(ax+2a+b)-3(ax+a+b)+2(ax+b)=-a=2，故a=-2；取b=0;
于是特解y*=-2xe^x；
故通解为：y=c₁e^x+c₂e^(2x)-2xe^x;

Answer 2

分为齐次解和特解
齐次y''-3y'+2y = 0
特征方程：t2 - 3t + 2 = 0
==> t = 1 or 2
==> 齐次y = c1'ex + c2'e^(2x)
特y0 = (ax + b)ex
代入原方程得：a = -2, b = c
综上：通解
y = (-2x + c1)ex + c2e2x
(c1, c2为任意常数)