Question

求一道有关函数的数学题

已知函数g（x）与函数h（x）=x+2的图像关于y=x对称，且函数f(x)=lg（g（x）·x + m）【其中m是实数，且m是常数】

问，是否存在实数p，使f（p + x）=f(p - x),若存在，请求出p，若不存在，请说明理由。

Answer 1

显然g(x)=x-2；
f(x)=lg(x^2-2x+m);
lgx为单增函数，
要使f（p + x）=f(p - x),即f(x)关于x=p对称，则x^2-2x+m关于x=p对称，所以p=1

Answer 2

关于y=x对称即反函数
y=x+2,x=y-2
所以g(x)=x-2
f(x)=lg(x²-2x+m)

f(p+x)=f(p-x)
所以(p+x)²-2(p+x)+m=(p-x)²-2(p-x)+m
2px-2x=-2px+2x
px-x=0
所以p=1

Answer 3

因为函数g（x）与函数h（x）=x+2的图像关于y=x对称

所以g(x)=x-2

所以f(x)=lg(x*x-2x+m)

假设存在p

那么(请看图)

Answer 4

g(x)=x-2
f(x)=lg(x^2-2x+m)
∵f（p + x）=f(p - x),
∴(p+x)^2-2(p+x)+m=(p-x)^2-2(p-x)+m
p^2+2px+x^2-2p-2x=p^2-2px+x^2-2p+2x
4px=4x,p=1.