Question

二阶非线性微分方程 X"＋2Xˊ＋5X=0 ， X︱t=0 =0 ，Xˊ︱t=0 =0求特解

Answer 1

这是个齐次二阶常系数微分方程，对应的初始条件为均0，意味着系统初始状态为0，由于系统无激励，系统的初始状态又为0，所以系统不运动，即X=0。
对这种方程，最简单的是根据特征方程的根求系统的响应，即求微分方程的解。其原理如下：
设X=e^(st);带入微分方程，即得特征方程s^2+2s+5=0，解的根为：s1=-1+2i;s2=-1-2i。
故微分方程的解系的两个基为：X1=e^(s1*t)=e^(-t)*e^(i2t)；X2=e^(s2*t)=e^(-t)*e^(-i2t)。
通解X=C1*X1+C2*X2。注：因为是线性系统方程，解为基的线性组合。
我们更一般的解法是将基转换成实函数的形式。根据欧拉公式，X1‘=（X1+X2）/2=e^(-t)*cos(2t)；同理，X2'=e^(-t)*sin(2t)。则X=C1'*e^(-t)*cos(2t)+C2'*e^(-t)*sin(2t)。
根据初始条件
X︱t=0
=0
，Xˊ︱t=0
=0，可解得C1‘=0；C2'=0。验证了上面的结论，另外，可以将解带入原微分方程进行检验。