Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+1=0(1)若圆C的切线在X、Y轴上的截距相等，求切线的方程

Answer 1

解：圆C：x
2
+
y
2
+
2x
–
4y
+
1
=
0，即(x
+
1)
2
+
(y
–
2)
2
=
4的切线在X，Y轴上的截距相等，说明切线经过原点（横轴截距，纵轴截距都是0），或者切线的斜率为-1；
1）切线经过原点，设切线的方程为y
=
kx
，即kx
–
y
=
0，圆C：(x
+
1)
2
+
(y
–
2)
2
=
4的圆心C(-1，2)，半径R
=
2，由点到直线距离公式可得，圆心C到该切线的距离为半径2，可得|-k
–
2|/√(k
2
+
1)
=
2
=>
|k
+
2|
=
2√(k
2
+
1)
=>
|k
+
2|
2
=
4(k
2
+
1)
=>
k
2
+
4k
+
4
=
4k
2
+
4
=>
3k
2
–
4k
=
0
=>
k(3k
–
4)
=
0
=>
k
=
0（舍去）或者3k
–
4
=
0，即k
=
4/3，所以切线的方程为y
=
4x/3
；
2）切线的斜率为-1，设切线的方程为y
=
-x
+
t，即x
+
y
–
t
=
0，由点到直线距离公式可得，圆心C到该切线的距离为半径2，可得|-1
+
2
–
t|/√(1
2
+
1
2
)
=
2
=>|1
–
t|
=
2√2
=>
1
–
t
=±2√2
=>
t
=
1±2√2，所以切线的方程为y
=
-x
+
1±2√2，即x
+
y
–
1±2√2
=
0
；
综上所述，所求切线的方程为
y
=
4x/3
或者
x
+
y
–
1
±
2
√2
=
0
。