Question

一道高等数学题

4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c在（0，1）内一定有一个根。

Answer 1

设F(x)＝ax^4＋bx^3＋cx^2－(a+b+c)x，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且F(0)＝0，F(1)＝0，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(0,1)，使得F'(ξ)＝0。而F'(x)＝4ax^3＋3bx^2＋2cx－（a+b+c），所以ξ是方程4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c的根。这说明4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c在（0，1）内一定有一个根。