Question

如图,在平面直角坐标系中,直线y=-1/2x+5/2与x轴的正半轴相交于点a,与y轴的正

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，反比例函数y= k x 在第一象限的图象经过点D． （1）求D点的坐标，以及反比例函数的解析式； （2）若K是双曲线上第一象限内的任意点，连接AK、BK，设四边形AOBK的面积为S；试推断当S达到最大值或最小值时，相应的K点横坐标；并直接写出S的取值范围． （3）试探究：将正方形ABCD沿左右（或上下）一次平移若干个单位后，点C的对应点恰好落在双曲线上的方法．

Answer 1

（1）过D作DM⊥OA于M点， 由题意得，AB=AD，∠AOB=∠AMD， 又∵∠DAM+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠DAM， 可证得：RT△BAO≌RT△ADM，（1分） ∵A（1，0），B（0，2）， ∴DM=OA=1，AM=OB=2， 则：OM=3，D（3，1），（1分） 反比例函数解析式为：y= 3 x （1分） （2）过K分别作KH⊥BA于H，直线l ∥ AB， ∵S 四边形AOBK =S △BOA +S △BKA 且S △BOA =1，又S △BKA =0.5× 5 ×KH， 设直线l为：y=-2x+b且b＞2， ∴S 四边形AOBK 的大小与线段HK的大小有关，（1分） 要使HK最小，则直线l与双曲线y= 3 x 在第一象限只有唯一交点K， 故：方程-2x+b= 3 x 有唯一实根， ∴2x 2 -bx+3=0中△=b 2 -24=0， 又∵b＞2，则：b=2 6 ， ∴S △BKA 最小时K的坐标为（ 6 2 ， 6 ）， （横坐标计算正确即可得3分） 且直线KH为：y= 1 2 x+ 3 6 4 ，故又得：当HK最小时，H的横坐标为： 4 5 - 3 6 10 ， ∴HK最小值为| 6 2 -（ 4 5 - 3 6 10 ）|× 5 2 = 2 5 5 （ 6 -1）， 即S △BKA 的最小值为 6 -1； 而可知：HK无最大值； ∴S无最大值，且当K的横坐标为 6 2 时，S达到最小值， 所以，S的取值范围为：S≥ 6 ．（不考虑过程，S范围直接给定正确得2分） （3）过C作CN⊥BO于N， 可得：CN=BO=2，BN=OA=1， ∴C（2，3），（1分） 又∵函数y= 3 x 中，当x=2时，y=1.5；当y=3时，x=1；（1分） ∴把正方形ABCD向左平移1个单位或向下平移1.5个单位， 能使点C恰好移动到双曲线y= 3 x 上．（1分）