Question

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的一点M（3，y0）到焦点F的距离等于4．...

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的一点M（3，y0）到焦点F的距离等于4． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）若过点（4，0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求△ABO面积的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意可知|MF|=3+p2=4，∴p=2．故抛物线C的方程为：y2=4x．…（5分）
（Ⅱ）解法1：设A（x1，y1），B（x2，y2）
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=4，
联立方程组y2=4xx=4，解得y1=-4，y2=4S△ABC=12×4×|y1-y2|=16．…（8分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x-4）（k≠0）．
联立方程组y2=4xy=k(x-4)，消去x得y2-4ky-16=0，
∴y1+y2=4k，y1•y2=-16…（11分）S△ABC=12×4×|y1-y2|=2(y1+y2)2-4y1•y2=216(1k2+4)=81k2+4＞16
综合①②可得当直线l的斜率不存在时，S△ABC取得最小值16．…（13分）
解法2：设直线l：x=ty+4．
设A（x1，y1），B（x2，y2）…（7分）
联立方程组y2=4xx=ty+4，消去x得y2-4ty-16=0，
∴y1+y2=4t，y1•y2=-16…（10分）S△ABC=12×4×|y1-y2|=2(y1+y2)2-4y1•y2=216(t2+4)=8t2+4
当t=0时，S△ABC取得最小值16．…（13分）