Question

高二数学立体几何，高手快来啊

1.三角形ABC的外接圆的圆心为0，半径为1，2倍的OA向量+AB向量+AC向量=0向量，且OA向量的模长=AB向量的模长。则向量BA在向量BC方向上的投影为？ 2.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球0表面上，E、F分别是棱AA1和DD1的中点，则直线EF被球0截得的线段长为？ 3.三棱锥A-BCD的三条侧棱两辆互相垂直，且AB=2，AD=根号3，AC=1，则A、B两点在三棱锥的外接球的球面上的距离为 ？ 4.（这个是个大题的一问）三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，AB=BC=BA=4，且AA1垂直于A1C，AA1=A1C.问顶点C到侧面A1ABB1的距离。 （麻烦把过程写详细点，谢谢！） 5.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中 ，三角形ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=2，D、E、F分别是B1A ，C1C ，BC的中点。问（1）求证B1F⊥平面AEF，（2）求锥E-AB1F的体积(这个是大题，麻烦一下过程，感激不尽！) 6.在梯形ABCD中CD平行于AB，AD=DC=1/2AB=a，E是AB 的中点，将ADE沿DE折起，使点A到P的位置，使二面角P-DE-C 的大小为120°。（1）求证DE⊥PC（2）求直线PD与平面BCDE所称的角的正弦值（大题，谢谢！）

Answer 1

1、作BC边上的中线AM，向量AB+AC=2AM，2OA+2AM=0，故AM是外接圆半径，圆心O在BC中点M，三角形ABC是RT三角形，|BO|=|AO|+|CO|，而|AB|=|OA|，则三角形ABO是正三角形，〈ABO=60度，
|AB|=|OA|=1，BA在向量BC方向上的投影为|AB|*cos60°=1/2。
2、过E和F作平面AA1D1D,则该平面是过球心的大圆，直径=√3，
在大圆上，弦心距=1/2，半径R=√3/2，设被球面所截线段长为MN，根据勾股定理，MN/2=√2/2，MN=√2。
3、三棱锥是以边长为1、2，√3的长方体的一半，其外接球直径D=√(1+4+3)=2√2,半径R=√2，AB弦=2，圆心角为AOB，sin<AOB/2=1/√2,<AOB/2=45度，〈AOB=90度，90度圆心角对弧长为1/4的圆周长，
AB弧长=2π√2/4=π√2/2，
AB之间的球面距离为π√2/2。
5、（1）F是
BC中点，AB=AC，AF⊥BC，又因是直棱柱，
故AF⊥平面BCC1B1，B1F∈平面BCC1B1，
AF⊥B1F，在三角形B1FE中，B1F=√6，EF=√3，
B1E=3，根据勾股定理逆定理，三角形B1FE是RT三角形，〈B1FE=90度，B1F⊥EF，EF∩AF=F，
∴B1F⊥平面AEF。
（2）求棱锥E-AB1F的体积可变成求棱锥A-B1FE体积，
SRT△B1FE=B1F*EF/2=√6*√3/2=3√2/2。
AF=√2，V棱锥A-B1FE=（3√2/2）*√2/3=1。
6、（1）在原梯形中，CD=AD=AE=CE，四边形AECD是菱形，AC⊥DE，设AC与DE交于O点，沿DE折叠后，CF⊥DE，P（A）F⊥DE，且〈PFC是二面角P-DE-C的平面角，DE⊥平面POC，
PC∈平面POC，
∴DE⊥PC
（2）、三角形POC，〈POC=120度，PO=CO，〈PCO=30度，在POC平面作PH⊥CO，交CO延长线于H，CH⊥DE，故CH⊥平面DEBC的向外延伸面，CH是PC在平面DEBC的射影，
PC=√3a,PH=√3a/2,sin<PDH=PH/PD=√3a/2/a=√3/2.
请把第4题修改一下。“AB=BC=BA=4”有无误？