Question

2012年新课标高考文科数学第16题怎样解答?

请写出解答过程

Answer 1

f(x)=[(1+x^2)+sinx]/(x^2+1)=1+(2x+sinx)/(x^2+1),有
sinx/(x^2+1)<=f(x)<=2+sinx/(x^2+1)
[注:不等式左边用的是分子去掉一个非负的部分值会变，如(1+x^2)/(x+5)>=1/(x+5),右边用的是a^2+b^2>=2ab,有1/(a^2+b^2)<=1/2ab.
继续变换下去，有-1/(x^2+1)<=f(x)<=2+sinx,
x^2+1>=1,1/(x^2+1)<=1,-1/(x^2+1)>=-1,显然2+sinx<=2+1=3
所以最后有-1<=f(x)<=3,M+m=3+(-1)=2
个人评价自己的解法:本人大学己毕业两年，有些知识点记不得了，如果此解有问题，欢迎某位高中老师或学生指出，不过变化那几步，等号成立与否还有待考虑，不如果此法没错的话，那么该函数有最大值和最小值还确定，取不到最值的话，直线y=-1和y=3是该函数两端的渐近线。