Question

求解一阶微分方程(3x+2cosy)dx-xsinydy=0

如标题所示，过程最好详细一点

Answer 1

求一阶微分方程(3x+2cosy)dx-xsinydy=0的通解

解：P=3x+2cosy， ∂P/∂y=-2siny；     Q=-xsiny，  ∂Q/∂x=-siny；

∵(1/Q)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=-(1/xsiny)(-2siny+siny)=1/x 是x的函数，因此有积分因子μ：

用积分因子x乘原方程的两边得：(3x²+2xcosy)dx-x²sinydy=0..........①

此时 ∂P/∂y=-2xsiny=∂Q/∂x，故①是全微分方程；∴通解u:

检验：du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=(3x²+2xcosy)dx-x²sinydy=0

两边消去一个x即得原方程：(3x+2cosy)dx-xsinydy=0.  故完全正确。

Answer 2

方程两边同时除以xsiny
(3x/xsiny+2cosy/siny)dx-dy=0
通分
[(3tany+2siny)/sinytany]dx=dy
分子分母同时除以tany
dx=[siny/(3+2cosy)]dy
两边同时积分
x+c=–1/2ln(3+2cosy)

Answer 3

Answer 4

方程可以变为：(3x+2cosy)dx+xd(cosy)=0
令u=cosy 上式变为(3x+2u)dx+xdu=0
du/dx+2u/x=-3 这是一阶线性非齐次方程，高等数学教材上都有详细解法。
齐次方程为 du/dx+2u/x=0
解得 u=C/x² 再运用常系数变易法，将C看成x的函数。
du/dx=C'/x-2C/x 代入非齐次方程得
C'/x=-3 C'=-3x C=-1.5x²+C1 C1为积分常数
故u=(-1.5x²+C1)/x²=-1.5+C1/x²
将C1用C代替， u=-1.5x²+C/x²
故方程通解为cosy=-1.5x²+C/x²
本题的关键是将sinydy=dcosy代替，接下来就是常规的解法了

Answer 5

第1个回答
［（3tany+2siny）/sinytany］dx=dy
母同时除以tany
dx=[siny/(3+2cosy)]dy
两1/2ln(3+2cosy)
第2个回答方程可以变为：bai(3x+2cosy)dx+xd(cosy)=0
令duu=cosy 上式变为(3x+2u)dx+xdu=0
du/dx+2u/x=-3 这是一阶线性非齐次方程zhi，高dao等数学教材上都有详细专解法。
齐次方程为 du/dx+2u/x=0
解得属 u=C/x² 再运用常系数变易法，将C看成x的函数。
du/dx=C'/x-2C/x 代入非齐次方程得
C'/x=-3 C'=-3x C=-1.5x²+C1 C1为积分常数
故u=(-1.5x²+C1)/x²=-1.5+C1/x²
将C1用C代替， u=-1.5x²+C/x²
故方程通解为cosy=-1.5x²+C/x²
本题的关键是将sinydy=dcosy代替，接下来就是常规的解法了