Question

向量组秩的性质

Answer 1

向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

定义

极大无关组

要定义向量组的秩，首先要定义极大线性无关向量组。

向量组T中如果有一部分组α1，α2，···，αr满足:

• α1，α2，···，αr线性无关;

• 任取向量组T中β，有α1，α2，···，αr，β线性相关。

则称α1，α2，···，αr为向量组T的一个极大线性无关向量组，简称为极大无关组。

向量组的秩

一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩;若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0.向量组α1，α2，···，αs的秩记为R{α1，α2，···，αs}或rank{α1，α2，···，αs}。

应用

定理

根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理

• 向量组α1，α2，···，αs线性无关等价于R{α1，α2，···，αs}=s。

• 若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则R{α1，α2，···，αs}小于等于R{β1，β2，···，βt}。

• 等价的向量组具有相等的秩。

• 若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。

• 向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，且s>t，则α1，α2，···，αs线性相关。

• 任意n+1个n维向量线性相关。

矩阵的秩

有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

Answer 2