Question

已知函数f（x）=2x-2lnx（Ⅰ）求函数在（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）...

已知函数f（x）=2x-2lnx （Ⅰ）求函数在（1，f（1））的切线方程； （Ⅱ）求函数f（x）的极值； （Ⅲ）对于曲线上的不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果存在曲线上的点Q（x0，y0），且x1＜x0＜x2，使得曲线在点Q处的切线l∥P1P2，则称l为弦P1P2的陪伴切线．已知两点A（1，f（1）），B（e，f（e）），试求弦AB的陪伴切线l的方程．

Answer 1

解：（I）∵y=2x-2lnx，∴y′=2-2×
1
x
∴函数y=2x-2lnx在x=1处的切线斜率为0，
又∵切点坐标为（1，2）
切线方程为y=2；
（Ⅱ）f′(x)=2-
2
x
，x＞0．…（6分）
f′（x）=0，得x=1．
当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：
x
（0，1）
1
（1，+∞）
f′（x）
-
0
+
f（x）
单调递减
极小值
单调递增
∴当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=2． 没有极大值． …（9分）
（Ⅲ）设切点Q（x0，y0），则切线l的斜率为f′(x0)=2-
2
x0
，x0∈(1，e)．
弦AB的斜率为kAB=
f(e)-f(1)
e-1
=
2(e-1)-2(1-0)
e-1
=2-
2
e-1
． …（10分）
由已知得，l∥AB，则2-
2
x0
=2-
2
e-1
，解得x0=e-1，代入函数式得y0=2（e-1）-2ln（e-1）
解出切点坐标（e-1，2（e-1）-2ln（e-1））…（12分）
再由点斜式写出方程y-2（e-1）+2ln（e-1）=
2e-4
e-1
（x-e-1），即：y=
2e-4
e-1
x+2-2ln(e-1)，
所以，弦AB的伴随切线l的方程为：y=
2e-4
e-1
x+2-2ln(e-1)．…（13分）