算数不等式

请告诉我几个平均数不等式的比较——如算数平均数,几何平均数,均方差平均数.要注明式子,如(a+b)/2.百科的我看不懂,... 请告诉我几个平均数不等式的比较——如算数平均数,几何平均数,均方差平均数.要注明式子,如(a+b)/2.百科的我看不懂, 展开
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潘阵多骞
2019-06-24 · TA获得超过1177个赞
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√[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
  (二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均)
(1)求证:2/(1/a+1/b)≤√ab
2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)
因为a,b∈R+,所以√ab>0
要证明2ab/(a+b)≤√ab
则要证明2√ab/(a+b)≤1
即:2√ab≤(a+b)
因为a-2√ab+b=(√a-√b)^2≥0
所以a+b≥2√ab
即:2√ab≤(a+b)
所以:2/(1/a+1/b)≤√ab
(2)求证:√ab≤(a+b)/2
因为:(a+b)/2-√ab=(a-2√ab+b)/2=[(√a-√b)^2]/2≥0
所以:√ab≤(a+b)/2
(3)求证:(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2
要证明:(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2
则需证明(a2+b2+2ab)/4≤(a2+b2)/2
即:a2+b2+2ab≤2(a2+b2)
也即需要证明:2ab≤a2+b2
因为a2+b2-2ab=(a-b)^2≥0
所以2ab≤a2+b2成立
所以:(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2成立
综上所证:2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2 (a,b∈R+)成立
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