过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x22+y2=1交于A、C与B、D,则...
过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x22+y2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD面积最小值为()A.83B.42C.22D.43...
过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x22+y2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD面积最小值为( )A.83B.42C.22D.43
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解:由题意可得四边形ABCD的对角线互相垂直,且四个顶点在椭圆x22+y2=1上,且a=2,b=1.
四边形ABCD面积等于12•AC•BD.
当AC和BD中,有一条直线的斜率不存在时,AC和BD的长度分别为2a和
2b,
四边形ABCD面积等于12•AC•BD=2ab=22×1=22.
当AC和BD的斜率都存在时,设AC的方程为y=kx,BD方程为y=-1kx.
把y=kx代入椭圆的方程化简为(2k2+1)x2-2=0,∴xA+xC=0,xA• xC=- 22k2+1.
∴AC=1+k2•|xA-xC|=1+k2•0+82k2+1=2
2(1+k2)2k2+1.
同理求得
BD=22(1+k2)k2+2,
∴12•AC•BD=4 k4+2k2+12k4+5k2+2=42k4+5k2+2k4+2k2+1=42k2+5+2k2k2+2+1k2=42(k2+1k2+2)+1k2+1k2+2
=42+ 1k2+1k2+2≥42+12+2=4×23=83,当且仅当k2=1k2时,取等号.
综上可得,四边形ABCD面积的最小值等于83.
故选:A.
四边形ABCD面积等于12•AC•BD.
当AC和BD中,有一条直线的斜率不存在时,AC和BD的长度分别为2a和
2b,
四边形ABCD面积等于12•AC•BD=2ab=22×1=22.
当AC和BD的斜率都存在时,设AC的方程为y=kx,BD方程为y=-1kx.
把y=kx代入椭圆的方程化简为(2k2+1)x2-2=0,∴xA+xC=0,xA• xC=- 22k2+1.
∴AC=1+k2•|xA-xC|=1+k2•0+82k2+1=2
2(1+k2)2k2+1.
同理求得
BD=22(1+k2)k2+2,
∴12•AC•BD=4 k4+2k2+12k4+5k2+2=42k4+5k2+2k4+2k2+1=42k2+5+2k2k2+2+1k2=42(k2+1k2+2)+1k2+1k2+2
=42+ 1k2+1k2+2≥42+12+2=4×23=83,当且仅当k2=1k2时,取等号.
综上可得,四边形ABCD面积的最小值等于83.
故选:A.
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