Question

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：x22+y2=1交于A、C与B、D，则...

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：x22+y2=1交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（　　）A．83B．42C．22D．43

Answer 1

解：由题意可得四边形ABCD的对角线互相垂直，且四个顶点在椭圆x22+y2=1上，且a=2，b=1．
四边形ABCD面积等于12•AC•BD．
当AC和BD中，有一条直线的斜率不存在时，AC和BD的长度分别为2a和
2b，
四边形ABCD面积等于12•AC•BD=2ab=22×1=22．
当AC和BD的斜率都存在时，设AC的方程为y=kx，BD方程为y=-1kx．
把y=kx代入椭圆的方程化简为（2k2+1）x2-2=0，∴xA+xC=0，xA• xC=- 22k2+1．
∴AC=1+k2•|xA-xC|=1+k2•0+82k2+1=2
2(1+k2)2k2+1．
同理求得
BD=22(1+k2)k2+2，
∴12•AC•BD=4 k4+2k2+12k4+5k2+2=42k4+5k2+2k4+2k2+1=42k2+5+2k2k2+2+1k2=42(k2+1k2+2)+1k2+1k2+2
=42+ 1k2+1k2+2≥42+12+2=4×23=83，当且仅当k2=1k2时，取等号．
综上可得，四边形ABCD面积的最小值等于83．
故选：A．