Question

怎样证明有理数和自然数一样多？为什么无理数比有理数多？

Answer 1

这两个问题仅讨论[0,1]中数就可以了，第一个问题只要建立自然数和有理数之间的一一对应关系即可，这样的到上映射是很容易建立的，比方说将有理数按Farey级数排列之后就可以建立这样的对应，第二个问题利用Lebesgue测度可以给出一个解释，因为[0,1]中的全体有理数是可数的，因此这些有理数组成的集合的测度是0，这样[0,1]中全体无理数组成的集合的测度就是1，这表明无理数要远远多余有理数。
答案补充
楼主如果想对集合的势有更多的了解，可以去看看实变函数方面的书，比如陈建功的《实函数论》的第一章。