Question

高等代数问题 若把同构的子空间称作一类,则数域P上n维线性空间共分多少类

Answer 1

n+1类.
线性空间的同构也就是存在可逆变换连接两个空间.因为可逆变换是双射,而且还保持向量加法和数乘,所以可逆的线性变换是同构.
显然,如果把该变换限制在一个子空间上,那么可逆变换保持子空间的维数相等.
反过来,维数相等的子空间总是可以由一个可逆变换连接的.可以这样证明：设子空间V1的基是{a1,a2,...,ak}而子空间V2的基是{b1,b2,...,bk}.那么这两个空间的基分别可以拓展为整个n维空间的一组基{a1,a2,...,an},{b1,b2,...,bn}.从{a1,a2,...,an}到{b1,b2,...,bn}有着唯一的一个线性变换f,也就是n维空间的自同构.这个线性变换f限制在{a1,a2,...,ak}上,就映射到{b1,b2,...,bk}.因此该变换f|V1连接了V1和V2两个空间.
至此我们证明了维数相等的子空间都是同构了.因此维数相等的子空间就可以分为一类.n维线性空间有维数为0,1,2,...,n的子空间,共n+1种.