Question

这道概率论的题怎么做？

Answer 1

分享一种解法【为表述“简捷”一些，令U=X1、V=X2，A=1/√(2π)】。由题设条件，有E(U)=E(V)=0，D(U)=D(V)=1，Cov(U,V)=-1/2。
(1)，∵Cov(U,V)=E(UV)-E(U)*E(V)=E(UV)，∴E(UV)=-1/2。
(2)，由题设条件，可知U、V的密度函数【即X1、X2的边缘分布】亦服从正态分布。其密度函数分别为f(u)=Ae^(-u²/2)，u∈R；f(v)=Ae^(-v²/2)，v∈R。
又，根据正态分布的性质，有U+V~N(μ,δ²)，其中μ=E(U)+E(V)=0，δ²=D(U)+D(V)+2Cov(U,V)=1，∴U+V~N(0,1)。
按照卡方分布【X²(n)】的定义，可知Z=(U+V)²~X²(1)。故，其概率密度f(z)=[1/√(2πz)]e^(-z/2)，z>0、f(z)=0，z为其它。
(3)，由题设条件，U、V的相关系数ρ=ρUV=-1/2。而，(U,V)的联合概率密度f(u,v)=[1/(π√3)]e^[(-2/3)(u²+uv+v²)]。
∴f(V丨U)(v丨u)=f(u,v)/f(u)=[(√2)/√(3π)]e^[-(u+2v)²/6]，u∈R、v∈R。
供参考。