Question

证明,ln(1+x)>x/1+x, (x>0)

Answer 1

设函数y=（1+x）ln(1+x)-x
求导得：y的导=（1+x）*（1/(1+x)）+ln(1+x)-1=ln(1+x)
很显然在x>0时，ln(1+x)>0恒成立，所以函数y在x>0时为增函数。
现在考虑初值x=0时，y=0
所以在x>0时，y>0，
即当x>0时，（1+x）ln(1+x)>x

Answer 2

x=0时，两边都为0.
然后两边求导，左边是1/（1+x)，右边是1/(1+x)^2。
x>0时，两个导数都>0.1+x>1
故
（1+x)^2
总是>
1+x,即左边的导数总是>右边的导数。
两边出发点一样，左边增加得快，所以左边必然>右边。
（如果没学过导数，我就没办法了。）