Question

在斜三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若2sinAco...

在斜三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若2sinAcosC=sinB,求ac的值; (2)若sin(2A+B)=3sinB,求tanAtanC的值.

Answer 1

(1)∵2sinAcosC=sinB,∴2sinAcosC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
于是sinAcosC-cosAsinC=0,即sin(A-C)=0.…(3分)
因为A,C为三角形的内角,所以A-C∈(-π,π),从而A-C=0,
所以a=c,故
a
c
=1.…(7分)
(2)∵sin(2A+B)=3sinB,∴sin[(A+B)+A]=3sin[(A+B)-A],
故sin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA=3sin(A+B)cosA-3cos(A+B)sinA,
故
4cos(A+B)sinA=2sin(A+B)cosA,∴tanA=
1
2
tan(A+B)=-
1
2
tanC,
∴
tanA
tanC
=-
1
2
.