Question

在△ABC中，已知（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断△ABC的形状

在△ABC中，已知（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断△ABC的形状．

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

(a^2+b^2)sin(a-b)=(a^2-b^2)sin(a+b)
--->(a^2+b^2)/(a^2-b^2)=sin(a+b)/sin(a-b)
【用合分比定理：a/b=c/d--->(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)】
--->a^2/b^2=[sin(a+b)+sin(a-b)]/[sin(a+b)-sin(a-b)]
【用正弦定理：a=2rsina,……。左边和差化积】
--->(sina)^2/(sinb)^2=(2sinacosb)/(2cosasinb)
【约去不为0的sina,sinb】
--->sina/sinb=cosb/cosa
--->sinacosa=sinbcosb
【两边同乘2】
--->sin2a=sin2b
--->2a=2b
或者
2a+2b=pi
--->a=b
或者
a+b=pi/2
依次△abc是等腰三角形或者直角三角形。
ps：在开始时用到分母a^2-b^2,sin(a-b),是可以避免的，只要颠倒比例式的前后项即可。

Answer 3

在△ABC中，由
正弦定理
可知
a
sinA
=
b
sinB
=k，则a=ksinA，b=ksinB，
代入（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），并把k
约分
可得
（sin2A+sin2B）sin（A-B）=（sin2A-sin2B）sin（A+B），
sin2Asin（A-B）+sin2Bsin（A-B）=sin2Asin（A+B）-sin2Bsin（A+B），
sin2A[sin（A+B）-sin（A-B）]=sin2B[sin（A-B）+sin（A+B）]，
利用
和角公式
，整理有
sin2A2cosAsinB=sin2B?2sinAcosB，
即sin2A2cosAsinB-sin
2B2
sinAcosB=0，即
sinAsinB（2sinAcosA-2sinBcosB）=0，
即
sinAsinB（sin2A-sin2B）=0．
又
sinA＞0，sinB＞0，
所以sin2A=sin2B，2A=2B
或2A+2B=180度，故
A=B或A+B=90度，
所以，△ABC是
等腰三角形
或
直角三角形
．