Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长为4，若点P是椭圆C上任...

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为KPM、KPN，当KPM•KPN=-14时，则椭圆方程为（　　）A．x216+y24=1B．x24+y22=1C．x2+y24=1D．x24+y2=1

Answer 1

解：由长轴长为4得2a=4，解得a=2，
设P（x0，y0），直线l方程为y=kx，M（x1，kx1），N（-x1，-kx1），
则KPM=y0-kx1x0-x1，KPN=y0+kx1x0+x1，
由KPM•KPN=-14得，y0-kx1x0-x1•y0+kx1x0+x1=-14，即y02-k2x12x02-x12=-14，
所以4y02=（4k2+1）x12-x02①，
又P在椭圆上，所以x024+y02b2=1，即4y02=4b2-b2x02，代入①式得4b2-b2x02=（4k2+1）x12-x02，
所以4b2=（4k2+1）x12+（b2-1）x02，
因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与x0无关，
所以b2-1=0，解得b=1，
所以所求椭圆方程为x24+y2=1．
故选D．