Question

关于考研高等数学（用函数的形态研究函数零点的个数）。。。急！急！急！

李永乐的《复习全书》中用函数的形态来研究函数零点的个数这个问题。
在求出函数的导数之后，按步骤来说应该是列表求单调区间和极值了。
但为什么李的书还要先求自变量所属区间两端的极限，之后才列表？
比如 x∈（0，＋∞）时候，求出了f(x)的导数，之后又要求 x趋于0时 f(x)的值，还求x趋于＋∞时f(x)的值，之后才列表的。
这里很疑惑，为什么要求端点极限。。。请高手解答！

Answer 1

举个例子你就明白了，说个简单的

假设说求出一个极值点f(1) = -2并且在(0,1)上f(x)单调

那么如果x趋于0时的极限为 -1之类的负数，那么（0,1）上就没有零点
但是如果x趋于0时的极限是正的比如2，那么（0,1）上就有一个零点了

趋于＋∞也是一样的
假设你确定了f(1) = -2 并且在（0,1）上单调递增
你也不能就说在（1，＋∞）上一定有一个零点
因为函数可以无限趋近于零
所以求x趋于＋∞的极限看看x趋于无穷的时候f(x)是不是大于零来确定有没有零点

Answer 2

这要看你是干什么啦！
求出了 函数的函数的导数，可以知道函数的单调区间这是没有问题的，但是你提到“用函数的形态来研究函数零点的个数这个问题”这句话，就是说如果要研究函数的零点，那就需要求函数的区间端点的极限了，这是因为有函数的渐近线的影响，比如函数的图像渐近线是y=0；还有就是虽然函数的单调的，但是在某个区间内函数并没有过y=0，这样的话都对于函数的零点有影响。

暂时我想到这两种情况！

Answer 3

求两个端点极限，是要给极值点设定范围。下面求极值的时候不能超过这两个极值点。

Answer 4

根据保号性 函数某点邻域内 符号不变 再根据单调性课以判断出函数在端点附近是否有零点