Question

设实数x，y 满足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值．题设条件“x2+y2+...

设实数x，y 满足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值． 题设条件“x2+y2+xy=1”有以下两种等价变形： ①(x+y2)2+(√32y)2=1； ②x2+y2-2xycos120°=1． 请按上述变形提示，用两种不同的方法分别解答原题．

Answer 1

解：①对于x2+y2+xy=1，配方可得(x+y2)2+(√32y)2=1，
设x+y2=cosα，√32y=sinα，可得x+y=cosα+√33sinα．
∵cosα+√33sinα=2√33（sinπ3cosα+cosπ3sinα）=2√33sin（π3+α），
∴当π3+α=π2+2kπ（k∈Z）时，sin（π3+α）=1达到最大值，
由此可得x+y=cosα+√33sinα的最大值为2√33；
②设△ABC中，∠A=120°，AB=x，AC=y，BC=1，
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120°，即x2+y2-2xycos120°=1．
化简得x2+y2+xy=1，恰好满足题干中的等式．
由正弦定理ABsinC=ACsinB=BCsinA，得xsinC=ysinB=1sin120°=2√33，
∴x=2√33sinC，y=2√33sinB，
可得x+y=2√33(sinB+sinC)=2√33[sinB+sin(π3-B)]
=2√33(sinB+√32cosB-12sinB)]=2√33sin（π3+B），
∵B∈（0，π3），
∴π3+B=π2即B=π6时，x+y=2√33sin（π3+B）的最大值为2√33．