Question

a>0,b>0,a+b=1,求(1)a^2+2b^2的最小值 (2) 根号a加2根号b的最大值

过程 谢谢

Answer 1

(1)
a^2+2b^2=1/3[(√2)^2+1](a^2+2b^2)≥1/3（√2a+√2b）^2
(柯西不等式)
a^2+2b^2≥2/3
当且仅当a=2/3,b=1/3取等。
(2)
5=(1+4)(a+b)≥(√a+2√b)^2
√a+2√b≤√5
当且仅当a=1/5
,b=4/5时取等。
柯西不等式的一般证法有以下几种：
■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,
bi，则有
(∑ai^2)
*
(∑bi^2)
≥
(∑ai
*bi)^2.
我们令
f(x)
=
∑(ai
+
x
*
bi)^2
=
(∑bi^2)
*
x^2
+
2
*
(∑ai
*
bi)
*
x
+
(∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x)
≥
0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有
Δ
=
4
*
(∑ai
*
bi)^2
-
4
*
(∑ai^2)
*
(∑bi^2)
≤
0.
于是移项得到结论。
■②用向量来证.
m=(a1,a2......an)
n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．