Question

若f(x)在[a,b]上连续,a<x1<x2<x3<b

设f(x)是区间(a,b)上的连续函数,a ＜x1＜x2＜x3＜b,证明：至少有一ξ∈(a,b),使得f(ξ)=1/3 [f(x1)+f(x2)+f(x3)]

Answer 1

∵f(x)是区间(a,b)上的连续函数
∴f(x)在区间(a,b)上必有最大值Fmax,也必有最小值Fmin
同时,对于任一实数r ,若有Fmin≤r≤Fmax,则：
直线 y = r与曲线 y = f(x)必有至少1个交点,即：
至少有一ξ∈(a,b),使得f(ξ) = r
现考察1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≤ 1/3 ×（Fmax+Fmax+Fmax）= Fmax；
同理：1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≥Fmin
令r = 1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)],即得所求结论.