Question

导数问题

在抛物线y=x^2上哪一点处的切线平行于直线4x-y+1=0?又在哪一处的切线垂直于这条直线？并求出这些切线方程。

Answer 1

第一个问：答案：在（2，4）点处平行于直线4x-y+1=0。切线方程：y=4x-4
直线4x-y+1=0的斜率k=4.所以，所求直线的斜率k=4
y=x^2.y'=2x
则2x=4，x=2，所以y=4.
求与已知直线平行的切线，就转化成，求一条过（2，4）点的，且斜率等于4的直线。
所以所求直线 y-4=4(x-2）
化简，得y=4x-4
第二个问：答案：在（-1/8,1/64）点处垂直与这条直线。切线方程：16x+64y+1=0
直线4x-y+1=0的斜率k=4.所以，所求直线的斜率k=-1/4
y=x^2.y'=2x
则2x=-1/4.x=-1/8.所以，y=x^2=1/64
求与已知直线垂直的切线，就转化成，求一条过（-1/8,1/64）点的，且斜率等于-1/4的直线。
所以，所求直线为 y-(1/64)=-1/4(x+1/8)
化简，得16x+64y+1=0

Answer 2

4x-y+1=0，k=4
y=x^2
所以Dy=2x
当x=2时，Dy=4=k
所以过（2,4）点的切线平行于直线4x-y+1=0
当x=-1/8时，Dy=-1/4=-1/k
所以过（-1/8,1/64）点的切线垂直于这条直线