Question

积分区域是X=t-sint，y=1-cost。计算x+2y在此区域上的二重积分。怎么处理？

Answer 1

可以代入特殊点进行画出二重积分区域。

因为t所代表的值是角度值，即 0<t<2π。通过取t的特殊值来画出二重积分区域的大致图形。

因为x=t-sint ，y=1-cost是一个摆线图形，而且a=1。可以知道x=t-sint ，y=1-cost是一个周期函数，只需要在0<t<2π这个周期内画出大概图形，然后可根据0<t<2π的图形在其他的周期内画出其二重积分的区域。

要画出x=t-sint ，y=1-cost在0<t<2π上的图形只需用到三个特殊点即可，首先取值t=0，可知x=0，y=0。再取值t=π，得x=π，y=1-（-1）=2。最后再取值t=2π，得x=2π，y=0。

摆线的由来

在圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。当圆滚动t角以后，圆上定点从 O 点位置到达P点位置。

当圆滚动一周，即t从0变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱。再向前滚动一周， 动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱，所有这些拱的形状都是完全相同的 ，每一拱的拱高为2a，拱宽为2πa。