Question

y=1+ln(x+2)的反函数如何求?

Answer 1

y=1+ln(x+2)的反函数：-2+e^(x-1)。

解答过程如下：

f(x)=1+ln(x+2)

y=1+ln(x+2)

ln(x+2)=y-1

x+2=e^(y-1)

x=-2+e^(y-1)

x，y位置互换

y=-2+e^(x-1)

即原函数的反函数为f^(-1)(x)=-2+e^(x-1)

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。