Question

当x趋向于0时,x-sinx是几阶无穷小?

Answer 1

具体回答如下：

lim{x->0} (x-sinx)/x^k

=lim{x->0} (1-cosx)/(k*x^(k-1))

=lim{x->0} sinx/(k(k-1)*x^(k-2))

当且仅当k=3时极限存在且非0。

sinx=x-x^3/6+o(x^4)

显然有x-sinx是3阶无穷小。

极限的性质：

和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。