Question

点P在半圆O的直径BA的延长线上,AB=2PA,PC切圆O于C,连结BC（1）求角P的正弦值（2)若半圆O半径为2，求BC长度

需要具体过程，谢谢

Answer 1

（1）设⊙O的半径为r，则AB=2r，于是PA=r，因此PB=PA+AB=3r

由切割线定理有PC^2=PA×PB，可得：PC=√3 r

连结OC，则△POC中，易知，OP=OA+PA=2r,OC=r,而PC=√3 r

由勾股定理逆定理可知，△POC是直角三角形，其中∠PCO为直角。

于是，sin∠P=OC/OP=1/2.

（2）由（1）可知∠P=30度，进而有∠COP=60度（△POC是直角三角形）

又OB=OC，不难求得∠OBC=∠OCB=30度，于是∠P=∠OBC，因此△PCB是等腰三角形。

因此，BC=PC=√3 r =2√3 

故：所求BC的长度为2√3 。