Question

已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.一：若xf'=(x+1)<=x^2+ax+1求a的取值范围二：证明(x-1)f(x)>=0

已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.一：若xf'=(x+1)<=x^2+ax+1求a的取值范围二：证明(x-1)f(x)>=0
要有计算过程

Answer 1

已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.一：若xf'=(x+1)<=x^2+ax+1求a的取值范围二：证明(x-1)f(x)>=0

∵x≥e,∴x-1＞0,
对所有的x∈[e,+ ∞)都有xf(x) ≥a(x-1)成立，
即要使a≤xf(x)/(x-1)对所有的x∈[e,+ ∞)都成立.
也就是要使a≤xf(x)/(x-1)在x∈[e,+ ∞)上的最小值.

设y=xlnx/(x-1),x∈[e,+ ∞)
对y求导，得y'=(x-lnx-1)/(x-1)²

设g(x)=x-lnx-1
对g(x)求导，得g'(x)=1-1/x
∵x≥e,∴g'(x)=1-1/x≥1-1/e＞0,即g(x)是增函数
∴g(x)≥e-lne-1=e-2＞0

∴y'=(x-lnx-1)/(x-1)²＞0
∴y=xlnx/(x-1),在x∈[e,+ ∞)上是增函数
即有y=xlnx/(x-1)≥elne(e-1)=e/(e-1)

即xf(x)/(x-1)在x∈[e,+ ∞)上的最小值是e/(e-1)
∴a≥e/(e-1)

Answer 2

f(x)=(x+1)Inx-x+1.
f(x)'=(x+1)/x+lnx-1=1/x+lnx
(1)
xf'(x)=1+xlnx≤x^2+ax+1
即xlnx≤x^2+ax 由题意知x＞0
故不等式等价于lnx≤x+a a≥lnx-x
令t(x)= lnx-x
t(x)'=(1-x)/x 故x∈（0,1）为增函数，x∈（1,+∞）为减函数
即t(x)max= t(1)=-1
因此a≥-1
（2）
令F(X)=(x-1)f(x)
当x∈（0,1）时，f(x)'=1/x+lnx f(x)''=(x-1)/x^2 即x∈（0,1）时， f(x)''＜0 故f(x)'为减函数
f(x)'min=f(1)'=1＞0
故f(x)在x∈（0,1）时为增函数，f(x)max＜f（1）=0
因此当x∈（0,1）时，F(X)=(x-1)f(x)＞0
当x属于[1,+∞)时，f(x)'=1/x+lnx ＞0，f(x)为增函数
f(x)min≥f（1）=0
故x属于[1,+∞)时，F(X)=(x-1)f(x)＞0
因此(x-1)f(x)≥0在x∈（0，+∞)均成立。

Answer 3

证明：
（1）
f'(x)=(x+1)/x+lnx-1
xf'(x)=1+xlnx
xf'(x)≤x^2+ax+1
则x^2+ax-xlnx》0
a≥-x+lnx

令g(x)=-x+lnx
g'(x)=-1+1/x
g'(1)=0所以在（0,1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数
所以g(x)=-x+lnx≤-1 ，故g（x）=lnx-x 在x=1 处取最大值为gmax=-1，
所以a≥-1

（2）
由（1）可得：lnx-x≤-1，即lnx-x+1≤0
当0＜x＜1 时，f（x）=xlnx+lnx-x+1＜0，
当x≥1时，f（x）=xlnx+lnx-x+1
=lnx+（xlnx-x+1）
=lnx+x（lnx+ 1/x -1）
=lnx-x（ln1/x - 1/x +1）
≥0．
∴f（x）=xlnx+lnx-x+1=lnx+（xlnx-x+1）≥0
综上所述，（x-1）f（x）≥0