求和公式是什么？
求和公式是S=(1+n)*n/2，求S实质上是求{an}的通项公式，应注意对其含义的理解。常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要有一定的技巧。
运算方法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如：an=2n+n-1，可看做是2n与n-1的和
Sn=a1+a2+...+an
=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1
=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)
=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2
=2n+1+n(n-1)/2-2
求和公式:
1.∑na=1∑mb=1gcd(a,b)=∑min(n,m)d=1ϕ(d)⌊nd⌋⌊md⌋∑a=1n∑b=1mgcd(a,b)=∑d=1min(n,m)ϕ(d)⌊nd⌋⌊md⌋
不妨设n≤mn≤m,枚举d=gcd(a,b)d=gcd(a,b),反演得到左边=∑nd=1∑⌊nd⌋i=1dμ(i)⌊nid⌋⌊mid⌋∑d=1n∑i=1⌊nd⌋dμ(i)⌊nid⌋⌊mid⌋,变形，用tt替换i∗di∗d,得∑nt=1⌊nt⌋⌊mt⌋∑d|tdμ(td)∑t=1n⌊nt⌋⌊mt⌋∑d|tdμ(td),后面那个式子是典型卷积，所以原公式成立。
2.∑na=1∑mb=1lcm(a,b)=14∑min(n,m)d=1d⌊nd⌋⌊md⌋(⌊nd⌋+1)(⌊md⌋+1)∑i|diμ(i)∑a=1n∑b=1mlcm(a,b)=14∑d=1min(n,m)d⌊nd⌋⌊md⌋(⌊nd⌋+1)(⌊md⌋+1)∑i|diμ(i)
反演：设F(t)=∑ni=1∑mj=1ij[t|gcd(i,j)],f(t)=∑ni=1∑mj=1ij[t=gcd(i,j)]F(t)=∑i=1n∑j=1mij[t|gcd(i,j)],f(t)=∑i=1n∑j=1mij[t=gcd(i,j)],则有F(t)=∑ni=1∑mj=1ij[t|i][t|j]=⌊nt⌋⌊mt⌋(⌊nt⌋+1)(⌊mt⌋+1)4F(t)=∑i=1n∑j=1mij[t|i][t|j]=⌊nt⌋⌊mt⌋(⌊nt⌋+1)(⌊mt⌋+1)4.因此答案=∑nd=1d∑⌊nd⌋i=1μ(i)i2⌊nid⌋⌊mid⌋(⌊nid⌋+1)(⌊mid⌋+1)4∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋μ(i)i2⌊nid⌋⌊mid⌋(⌊nid⌋+1)(⌊mid⌋+1)4.t=idt=id来替换dd,套路求解。记G(d)=∑i|diμ(i)G(d)=∑i|diμ(i),显然是积性函数，对质数pp有G(pk)=1−pG(pk)=1−p,随便推一推就能用线性筛预处理，前面再一分块，就能O(n−−√)O(n)求解。
3.∑na=1∑nb=1lcm(a,b)=∑ni=1(−i+2∑ij=1lcm(i,j))∑a=1n∑b=1nlcm(a,b)=∑i=1n(−i+2∑j=1ilcm(i,j)).
预处理,O(1)输出。
4.∑ni=1gcd(i,n)=∑d|nndϕ(d)∑i=1ngcd(i,n)=∑d|nndϕ(d).
枚举dd,老套路了。
5.∑ni=1σ(i)=∑ni=1i⌊ni⌋∑i=1nσ(i)=∑i=1ni⌊ni⌋.
根据σσ的定义轻松得出。左边=∑ni=1∑j|ij=∑nj=1j∑⌊nj⌋i=11∑i=1n∑j|ij=∑j=1nj∑i=1⌊nj⌋1.
拓展资料
Sumproduct函数的作用为：返回相应的数据或区域乘积的和，在公式=SUMPRODUCT((D3:D12=I3)*(G3:G12))中，区域有2个，一个为D3:D12=I3返回的数据区域，另一个为G3:G12区域。如果D3:d12=I3中的条件成立，则返回1，否则返回0。根据本示例表，则D3:D12=I3返回的数据区域为{1,1,1,1,1,0,0,1,1,1}，而G3:G12数据区域的值为{4735，2722，4095，2874，168，4478，3978，2760，3762，4425}，所以相应的数据元素先乘积再求和，即：1×4735+1×2722+1×4095+1×2874+1×168+0×4478+0×3978+1×2760+1×3762+1×4425=25541，反之亦然哦！
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要有一定的技巧。
扩展资料
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如：an=2n+n-1，可看做是2n与n-1的和
Sn=a1+a2+...+an
=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1
=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)
=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2
=2n+1+n(n-1)/2-2
Sn=n(a1+an)/2 或Sn=na1+n(n-1)d/2
应该是对于任一N均成立吧,那么Sn-S(n-1)=[n(a1+an)-(n-1)(a1+a(n-1))]/2=[a1+n*an-(n-1)*a(n-1)]/2=an
化简得(n-2)an-(n-1)a(n-1)=a1,这对于任一N均成立
当n取n-1时式子变为,(n-3)a(n-1)-(n-2)a(n-2)=a1=(n-2)an-(n-1)a(n-1)
得
2(n-2)a(n-1)=(n-2)*(an+a(n-2))
当n大于2时得2a(n-1)=an+a(n-2)显然证得他是等差数列
(1)等比数列：a(n+1)/an=q(n∈N)。
(2)通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；
(3)求和公式：Sn=n×a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)(q为公比，n为项数）
性质：
①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am×an=ap×aq；
②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2
0
